[174°] IL CONCETTO DI VELOCITA' ISTANTANEA

Chi volesse leggere questo post senza farsi venire mal di testa, deve farsi trovare immediatamente al binario numero nove e tre quarti.

Il post in sintesi:

- il concetto (matematico) di velocita' istantanea
  una allegoria per il (doloroso) concetto scolastico di 
  velocita' istantanea
- l'operazione matematica di passaggio al limite
  una seconda allegoria per la potente operazione 
  del Calcolo


IL CONCETTO (MATEMATICO) DI VELOCITA' ISTANTANEA
Vi siete mai trovati incasinati e col mal di testa in mezzo a colorate allucinazioni di simboli tipo: dx df dy df/dx y' f'?

Quei simboli hanno il potere spaventoso di oscurare le menti, di inghiottire in trip senza ritorno interi allievi ingegneri spavaldi, anche di peso noto notevole.

Guardo i miei vecchi appunti universitari sul tema, con paura, come ad un "libro dei morti".

(Ricordo che li ho studiati nonostante quel fastidioso bisbiglio dei muri di casa)

Ecco, senza presunzione, vorrei che questo post fosse come un mantello magico proprio per quegli allievi che si addentrano per la prima volta in questo ambiente incantato. Perche' non e' detto che riescano ad uscirne.

Ma l'eta' giovane e' dalla loro. Ed io voglio loro bene sincero.

Vediamo allora di (tra)scrivere giu' le idee senza stressare i cervelli, ma piuttosto come offrire un buon caffe'.

Io partirei dalla classica definizione di velocita' (media):

v|med = spazio percorso / tempo impiegato = s / t

Questa da' l'idea di uno spostamento sempre costante nell'unita' di tempo, per tutta la durata del movimento.

La definizione richiede alcuni ingredienti: uno spazio percorso non nullo (ma anche no), un intervallo di tempo non nullo (questo si'), una operazione elementare di divisione.

Il risultato e' dimensionale ed e' espresso in unita' di spazio su unita' di tempo: cio' significa, intanto, che uno stesso movimento puo' avere velocita' (medie) diverse, a seconda delle unita di misura usate.

Gia' questo mi ha sempre scocciato. Per dire, p-greco e' sempre p-greco: sembra esistere in qualunque aula didattica, numericamente sempre uguale a se stesso.

La velocita' (media) invece no: e' piu' evanescente. E' un numero con uno zaino sulle spalle. Se lo zaino e' Invicta, allora si presenta cosi', se invece lo zaino e' Seven, allora si presenta cola'.

Parlando di velocita' (media) bisogna sempre descriverla con le sue unita' di misura, altrimenti si arrabbia, si turba, svanisce, dissimula la sua informazione.

Insomma, gia' si capisce che occorre trattarla con assoluto rispetto perche' sia docile e sveli cio' che sa.

Forse un personaggio cosi' mutevole pone qualche dubbio sulla qualita' della sua esistenza. Forse i numeri "con lo zaino" vanno capiti meglio...

Ma adelante.

I guai per lo studente cominciano quando si cerca di calcolare la velocita' in movimenti di durata sempre piu' breve, addirittura quando lo spostamento avviene in un intervallo di tempo tendente a zero.

In questo caso, con simboli semplificati:

v|ist = lim ( s / t )  per t --> 0

In questo caso l'operazione di limite ha senso tentarla, e se il limite esiste ha pure senso assegnare questo valore "v" all'istante (t = 0).

Cio' che a mio parere non ha senso e' credere che questo valore v|ist sia ancora una velocita' della stessa natura di v|med.

Credo sia proprio questo che fa andare in corto circuito la testa degli allievi ingegneri, perche' si sforzano di ritenere il concetto di v|med applicandolo in un istante ben preciso t=0. Dimenticandosi che v|med richiede un intervallo di tempo, non un singolo istante di tempo.

Il corto circuito e' poi totale quando questa nuova torta appena sfornata viene chiamata v|ist, velocita' istantanea: ma allora e' vero che e' una velocita'!! caspita!! Me lo dicono loro, e poi ha le stesse dimensioni della velocita' (media).

A mio modo di vedere non e' cosi'.

E' vero che la velocita' istantanea ha lo stesso zaino della velocita' media, ma e' l'apoteosi della finzione. Si camuffa da velocita', perche' ha rubato lo zaino dalla sua amica velocita' media, ma il suo volto e' orribile, e' quello di un mostro: si camuffa da velocita' ma il suo intervallo di tempo che tiene a denominatore e' rigorosamente uguale a zero.

Ho fin paura di scatenare la tempesta perfetta scrivendolo. Rischio: ha rubato lo zaino alla buona velocita' media ma dentro vi ha messo un terribile (0/0).

Come e' stato possibile? e come e' stato possibile che nessuna sirena matematica si sia messa a suonare l'allarme "division by zero!" "division by zero!" "division by zero!"?

A mio modo di vedere il merito e' di un certo Mr. Leibniz che ha giusto inventato quelle lunghissime pinze che pur senza vederlo, riescono a catturare il rapporto (0/0) e a calcolarne di volta in volta (se esiste) il valore.

(0/0) e' una divisione terribile, appena scritta gia' si dimena, si torce, si trasforma quasi come un licantropo, un mutaforma, un alieno, una cosa, un terminator, urla, grida, sghignazza, digrigna, ulula.

Puo' darsi che ad un certo punto collassi: ed allora si placa assumendo un qualche valore. Oppure se ne scappi via, quasi vergognandosi dell'orrido suo aspetto, ed allora la si vede sparire all'infinito.

Solo le pinze di Leibniz ci consentono di torcere per il collo la bestia (0/0), di vederla mutare e trasformarsi in un qualche numero mite, oppure di inseguirla nel suo lontano scomparire, senza pericolo di ferirci.

Queste pinze sono ovviamente il "limite", l'operazione matematica di limite: a mio modo di vedere la prima vera (e assolutamente) nuova operazione matematica apparsa sotto il sole dalla scoperta delle operazioni + - x /.

Quindi non si deve vergognare alcuno se non ha chiaro questo concetto di velocita' istantanea: perche' non e' una velocita', anche se ci assomiglia, anche se ha lo stesso zaino.

Quando il tempo stava per collassare al valore 0, si aveva

v = 0/0

Noi a questo punto abbiamo catturato - un attimo prima del suo collasso - la bestia (0/0) con le pinze di Leibniz e l'abbiamo tenuta stretta sino a che e' collassata su di un valore "v".

Ma in questa lotta furibonda che ha portato la bestia al collasso, abbiamo investito e perso molto: abbiamo perso la realta' fisica, non siamo piu' nel mondo fisico reale, bensi' nel mondo dei concetti matematici.

A questo punto possiamo anche chiamarla col nome di velocita' (istantanea), ma tutto e' fuorche' una velocita' reale.

Avremmo potuto chiamarla Zoe, Maria, cicuta, piantumperla rutilosa. Ormai la bestia era collassata per sempre uscendo da questo mondo.

Ma la storia non finisce qui. Perche' per nostra fortuna Mr. Leibniz era un gigante, anzi, un Gigante, e le sue pinze nella lotta furibonda con la bestia, ci hanno si' scaraventati in un mondo diverso, ma in un mondo dove tutto e' pan di zucchero.

Dove le stelle sono di glassa, la pioggia e' di gocce di cioccolata, i fiumi sono di crema.

Un tal mio amico direbbe: un mondo dove la mona e' ovunque.

E perche' tutto sto benedetto ottimismo? Ma perche' la bestia (0/0) nel suo morire e' andata a collassare in quel che null'altro e' che un quasi-differenziale dello spostamento, e cioe':

v|ist = ds / dt 

Nei due mondi, quello reale e quello matematico, almeno per noi ingegneri, il tempo e' sempre la stessa medesima grandezza. Ma correre lungo una traiettoria reale torta e ritorta non e' la stessa cosa che correre su di un binario rettilineo del mondo matematico.

Questo binario rettilineo e' appunto il differenziale dello spostamento:

ds

Il mondo matematico con la sua magia buona ci rassicura dicendoci che invece di correre per strade tortuose, arriviamo alla stessa meta anche correndo piu' semplicemente su binari rettilinei, chiamati differenziali, solo che questi si conoscano e si sappiamo trovare.

Ma per trovare "ds" basta fare:

v|ist * dt = ds

e voila', il binario e' bello che trovato.

La bestia si e' trasformata in pan di spagna, la strada curva in binario diritto, e questo nuovo oggetto chiamato (sfortunatamente) velocita' istantanea e' la nuova creatura che unendosi al tempo da' vita al differenziale: il grimaldello per il mondo reale, di ritorno dal mondo matematico.

df... il differenziale.

Ma questa e' un'altra storia.


L'OPERAZIONE MATEMATICA DI PASSAGGIO AL LIMITE
Trovo che nello studio come in tutte le cose della vita, una buona metafora, una buona allegoria puo' aiutare a capire qualcosa di piu'.

Ed il limite non sfugge a questa regola.

Su, andate ad un poligono di tiro e all'arrivo prendete il posto assegnatovi.

Solo che tra voi ed il bersaglio c'e' un telo nero, teso.

In mezzo al telo nero una fenditura, che pero' non lascia vedere nulla oltre.

Vi dicono che dopo che avete sparato col vs. fucile, e se avete colpito il bersaglio, sentirete un urlo.

Tranquilli, l'urlo e' solo registrato ma lo sentirete solo nel caso abbiate colpito il bersaglio.

Prendete allora la mira piu' che altro ad intuito, sfruttando le simmetrie della scena, immaginando dove ragionevolmente puo' trovarsi il bersaglio da colpire.

Fate fuoco. Il proiettile entra nella fenditura. La oltrepassa.

Sentite l'urlo.

Ecco, per POA il passaggio al limite e' come questo centro: sapete solo che lo avete fatto, ma non lo toccherete mai.

^   ^   ^

Direi che il post e' terminato, anche per chi stesse ancora cercando il capostazione.

Sperando di non aver rovinato a nessuno la pausa-caffe', vi auguro 15 giorni di proficuo lavoro, con appuntamento al prossimo post di (circa) meta' febbraio.
Vs. POA

[ 174°] THE MATHEMATICAL DEFINITION OF THE INSTANTANEUS VELOCITY.
No english version for this post... sorry.

[157°] PREVEDERE I TERREMOTI: LA GUIDA DEFINITIVA - 3a puntata

25-01-2013 Ultim'ora: http://cnt.rm.ingv.it/data_id/7226520880/event.html
06-01-2013 Ultim'ora:  http://cnt.rm.ingv.it/data_id/7226236860/event.html

Ma allora non siete morti?! Non siete collassati in una singolarita' spazio-temporale... Non siete stati trafitti al cuore da un'improvvisa Delta di Dirac... E neach'io. Ma allora possiamo stare assieme ancora un altro po'!

Che bello.

E ora c'e' da superare quest'altro post: altro che corazzata Potëmkin. Via subito alla terza puntata:


PREVEDERE I TERREMOTI - terza puntata
L'INTERVALLO TEMPORALE DI OSSERVAZIONE E LA PROBABILITA' DI NON ACCADIMENTO

Nella seconda puntata ci si era lasciati con D1:
"Quale probabilita' c'e' che in un intorno di raggio r ed in un intervallo di tempo Δt capiti un terremoto di magnitudo non inferiore ad M? "

In questa domanda ci sono vari ingredienti:
una localizzazione geografica, un terremoto di soglia, una durata temporale e -s'era detto necessariamente- una probabilita' di non accadimento.

Voglio condividere ora con i lettori di POA il terzo ed il quarto ingrediente: la durata dell'intervallo di osservazione e le considerazioni sulla corrispondente probabilita' di non accadimento

Vediamo.

Dal punto di vista matematico la probabilita' di vincere o di perdere e' la stessa cosa. Conviene allora adeguarsi alle usanze e chiamare la probabilita' di insuccesso col nome di rischio e continuare ad intendere con la parola probabilita', la probabilita' di successo.

(Attenzione a non confondere questo rischio col rischio della Protezione Civile, che e' tutt'altra cosa.)

Sempre in matematica la probabilita'|rischio di un accadimento coincide col limite cui tende la frequenza di quello stesso accadimento in una successione di esperimenti lunga a piacere.

Queste poche cose appena dette applicate all'universo temporale dei terremoti hanno generato le considerazioni che seguono.

Si stabilisca un terremoto da considerare d'ora in avanti il terremoto di soglia (per esempio un terremoto rappresentato da un certo valore Ag=... a piacere), e sull'asse dei tempi si segni ogni verificarsi di un tale terremoto, o di uno maggiore.

Si ottiene l'asse (nero) di figura: a sinistra ho l'Alfa, l'inizio dei tempi, a destra ho l'Omega, la fine dei tempi (bella metafora, vero? permette di ragionare al limite).

Asse temporale degli eventi

Su quest'asse ogni tacca rappresenta uno scuotimento superiore o uguale al valore di soglia.

Se di tutte le durate degli intervalli T1, T2, T3, ..., Ti, ... se ne ne fa la somma T1+T2+T3+...+Ti+... e la si divide per il numero degli intervalli tra l'Alfa e l'Omega, si ottiene un intervallo medio che per ora puo' essere chiamato tempo (medio) di ritorno T.

Con l'intervallo T posso disegnare (in affianco all'asse t ) l'asse dei tempi rosso, che e' un asse puramente teorico: diciamo di significato puramente matematico e non fisico come e' invece per l'asse nero.

...con l'asse virtuale dei tempi di ritorno

Ripeto: l'asse nero e' un asse di accadimenti reali, fisicamente avvenuti, mentre l'asse rosso e' un asse teorico, una astrazione matematica. L'asse rosso - vedetelo un po' trasparente - s'intende sovrapposto all'asse nero.

Essendo un asse virtuale, l'asse rosso puo' anche spostarsi un po' a sinistra oppure un po' a destra. Non fa differenza per i nostri scopi. (Per rendere quest'idea ho omesso di disegnarne le frecce di estremita'.)

Vedo ora di ragionare su quest'asse rosso.

Per come e' stato ricavato, T e' il periodo di un accadimento periodico nel tempo (tempo rosso, mi raccomando, terremoto virtuale, rosso). Ma allora 1/T e' esattamente la frequenza di questo accadimento periodico virtuale (la frequenza e' l'inverso del periodo).

Per la definizione iniziale di rischio inteso come limite di una frequenza, ed essendo la metafora Alfa-Omega un passaggio al limite per t  tendente ad infinito, si puo' affermare allora che 1/T e' il rischio associato a questo terremoto virtuale di soglia. E siccome successo+insuccesso in calcolo probabilistico da' sempre 1, vuol dire che

1-(1/T)

e' la probabilita' di non superamento del terremoto di soglia prescelto. Cioe':

P(Ag) = 1-(1/T)           [1]

Ripeto: si sta ragionando sull'asse rosso. E quanto trovato vuol dire: se scelgo un valore di soglia Ag ricavo un suo periodo di ritorno T, un rischio matematico di superamento 1/T ed una probabilita' di non superamento 1-(1/T).

Noto che: prima decido Ag, quindi la volonta' di DIO-PADRE-ONNIPOTENTE mi fa conoscere T, e solo dopo, ma molto dopo, calcolo P(Ag) con l'espressione [1].

Questo modo di spiegarmi le cose mi pareva carino dirlo su POA.

Domandina.

Ma questo rischio e questa probabilita' a quale intervallo di tempo si riferiscono?

Non e' una domandina pippesca, vero??

A dire il vero l'asse rosso e' un asse virtuale, nel senso che in ogni intervallo di durata T accade sempre uno e un solo terremoto di soglia. Non ha molto senso parlare di probabilita' col solo asse rosso; bisogna saltare sull'asse nero.

Ma l'asse rosso virtuale non e' fisso sull'asse nero reale: non hanno punti che devono coincidere per come sono stati costruiti. L'asse rosso virtuale puo' scivolare un po' a piacere sull'asse nero reale: un po' a sinistra come pure un po' a destra...

Bene, dal punto di vista matematico l'espressione 1/T cosi' trovata non e' adimensionale (come richiesto per il concetto probabilistico di rischio), ma e' un rischio riferito all'unita' di tempo. Quindi in realta' e' una densita' di rischio.

Moltiplicando allora 1/T per l'unita' di tempo, il valore assoluto dell'espressione non cambia perche' la moltiplico per 1, ma 1/T diventa adimensionale corrispondendo pienamente alla sua natura.

Quindi facendo scorrere i due assi uno sull'altro per far cadere un terremoto reale di soglia entro un intervallo unitario di durata 1 dell'asse rosso (non disegnato in figura), potrei interpretare 1/T come il rischio di superare Ag in un anno solare.

Analogamente 1-(1/T) e' la probabilita' di non superare il terremoto di soglia in un anno solare.

Ma vado oltre con questo ragionamento.

Se scomodo l'assioma della probabilita' composta, questo mi aiuta a calcolare il rischio Rn di superamento del terremoto di soglia in un intervallo di n anni. Che vale:

Rn(Ag) = 1-(1-(1/T))^n

Altola'! Ci sono molte variabili - dipendenti e indipendenti - in questa formula:

0<=Rn<=1 che e' il rischio riferito ad un intervallo di n-anni,
0<n che e' appunto la durata scelta,
0<Ag il ns. terremoto di soglia,
1<=T il periodo di ritorno

Alcune le posso scegliere, come Ag di soglia o come n; altre restano intrappolate una volta scelto Ag ed n, come succede a T e subito dopo ad Rn.

Conviene scrivere allora:

Rn = 1-(1-(1/T(Ag)))^n                   [2]

dove viene messo in evidenza che T dipende da Ag e che quindi Rn dipende a sua volta da T(Ag) ed n.

A questo punto e' evidente che il legame T=T(Ag) non mi e' noto essendo l'asse virtuale rosso impossibile da conoscere (dovrei afferrare l'Alfa e l'Omega assieme!).

Pero' posso usare la formula [2] per rispondere a quest'altra domanda:
che tempo di ritorno ha un terremoto di soglia che presenti un rischio di accadere pari ad un 1-percentile in... 50 anni?

Be', vuol dire che Rn=1%  n=50 e pertanto da [2] si ricava T=4975 anni.

E con un rischio del 10% sempre in 50 anni?

Rn=10%  n=50, quindi T=475 anni.

Qualche numero e' famigliare, vero??

E' interessante osservare che la formula [2] da' il rischio di un accadimento senza necessita' di sapere di che tipo di accadimento si tratti. Mi spiego.

Per un certa durata di tempo n la formula calcola il rischio noto che sia il suo tempo di ritorno, senza che sia necessario conoscere il particolare legame T(Ag). Anzi, possono essere terremoti, ma anche pere, mele o quant'altro.

Cio' significa che tutto sto ambaradam funziona ugualmente bene sia che per la soglia prenda un Ag, piuttosto che una magnitudo M, piuttosto che non so cosa altro.

Noto anche che il rischio tende a diventare certezza al crescere di n. "n" che puo' riguardarsi a questo punto come vita nominale.

Restano ancora ben tre considerazioni importanti.

1a considerazione:
stabilita una funzione tempo-di-ritorno T(.) per un certo fenomeno, ne resta conseguentemente intrappolata la funzione densita' di probabilita'. Cio' fa pensare ad un legame occulto tra le due cose...;

2a considerazione:
l'esatta funzione T(Ag) non la posso conoscere perche' non conoscero' mai tutto cio' che c'e' tra l'Alfa e l'Omega. Cioe' nessuna successione di esperimenti potra' mai coprire l'intero asse nero del tempo reale. Gli intervalli di osservazione hanno necessariamente durata finita. Quindi T(Ag) e' conoscibile solo per campioni di osservazioni e quindi lo stesso T sara' conoscibile solo con un certo grado di fiducia probabilistica (un certo percentile probabilistico di T);

3a considerazione:
se si stabilisce che la pericolosita' sismica di sito e' da definirsi con un certo valore Ag di soglia (con esso valutero' forze inerziali sulla struttura), allora e' necessario conoscere la funzione densita' di probabilita' per la grandezza Ag. Ma non conviene partire da un Ag di soglia perche' non conosco il legame T(Ag). Conviene invece partire da una coppia (Rn, n) che vada bene e ricavare da essa la funzione densita' di probabilita' di Ag, relativa alla coppia (Rn, n). Solo allora si scegliera' -con un certo grado di fiducia probabilistica- il valore Ag piu' consono al problema (stato limite ultimo?). E proprio questo valore Ag sara' convenzionalmente la pericolosita' di sito.

Bene.

Come procedere concettualmente in pratica? (Toh, un ossimoro: non mancava che questo.)

Si prende la coppia (Rn=10%, n=50 anni).

L'intervallo di campionamento e' 50 anni e la probabilita' di superamento del valore soglia -non noto a priori- e' 10%.

Si costruisce una successione di campioni-osservazioni tutti di durata 50 anni.

Per ogni campione si sceglie quel valore Ag che risulta maggiorato nel 10% dei casi del campione.

Su un secondo grafico si segna questo Ag in ascissa e una tacca in ordinata.

Cosi' proseguendo si ottiene un grafico Ag-frequenze che concettualmente altro non e' che la funzione densita' di probabilita' di Ag.

Stabilito un m-esimo percentile, si legge in corrispondenza il valore Ag corrispondente, e questo valore sara' la pericolosita' di sito.

La norma italiana usualmente da' in corrispondenza alla coppia (Rn=10%, n=50 anni) il 50° percentile di Ag.

E la pericolosita' di sito mi pare proprio definita concettualmente in funzione dello stato limite ultimo SLV.

Concludendo:
la pericolosita' Ag di un sito e' l'accelerazione di picco registrata su suolo rigido corrispondente al 50° percentile di fiducia campionaria delle registrazioni che in 50 anni hanno la probabilita' di essere maggiorate nel 10% dei casi.

@zzo.

^  ^  ^

Lo ammetto: a San Silvestro un botto mi e' scoppiato moolto vicino.

Pero' tenevo molto scambiare con qualche lettore di POA queste importanti considerazioni. Non fosse altro che per verificarne l'esattezza.

E non e' finita qui.

Vi auguro di vivere questo 2013 alla grande: 100°-percentile di salute e di grandi soddisfazioni nel lavoro.
Vs. POA

P.S.: un grazie particolare a Giorgio, ingegnere meccanico in Venezia, per la bellissima foto di testata.
 

[ 157°] THE EARTHQUAKE'S FORECAST: THE ULTIMATE GUIDE (3rd part)
 No english version for this post... sorry.

[135°] LE INCREDIBILI INTUIZIONI DI MONSIEUR FOURIER

[English]

Come sovente accade l'altra sera sono crollato esausto sul divano, e come raramente accade ho ceduto alle lusinghe allucinogene del telecomando. La scatola trasmetteva contemporaneamente due film: Il Castello (2001) con Robert Redford, La Mummia (2001) con Brendan Fraser. Li ho guardati tutti e due. Poi ho scritto questo post.


Via immediatamente agli argomenti del post (prima che mi buttino fuori anche qui):

- le incredibili intuizioni di Monsieur Fourier

  un improbabile (ma virtualmente possibile) incontro

  al bar col grande scienziato francese
- la nuova casa su blogspot.com

  considerazioni semiserie dopo un mezzo trasloco allucinante

  in un periodo di tempi duri per i proprietari di casa
- auguri officinali 2

  alla stregua della migliore filmografia (!?) recupero il

  vecchio titolo degli auguri di POA per il 2010


LE INCREDIBILI INTUIZIONI DI MONSIEUR FOURIER(*)
Riferisco qui d'un recente (inverosimile) incontro presso il bar sotto alle Officine proprio dove - nelle pause caffe' - lascio decantare le mie (modestissime) intuizioni.

(in piedi presso il banco)
POA: (con sorpresa) Buongiorno Monsieur Giovanni Battista Giuseppe Fourier. Mi permette di offrirle un caffe'?
FOURIER: Ma per carita', non mi chiami Monsieur... visto il luogo poi, mi chiami pure Fourier: del resto gli studenti mi conoscono cosi'. Ristretto va bene.
POA: Signor Fourier, lei puo' immaginare quante domande la sua sola presenza possa suscitare. Specie ora che il torpore della ragione sembra aver gia' creato notevoli danni. Invece le sue idee sono uno stimolo a rivitalizzare cervelli ormai rassegnati.
FOURIER: Certo. Capisco. Ma lei si riferisce agli ingegneri? Ora?
POA: Mm, be', vede, non proprio, o non solo. Certo e' che il suo pensiero affascina piu' di qualche vecchio collega fin dai tempi di quando s'era studenti d'ingegneria...
FOURIER: Bene, cominci. Chieda.
POA: Ecco... il punto che merita chiarire e' come le sia venuto in mente che una funzione - una qualsiasi funzione - potesse venire scomposta nella somma di piu' funzioni trigonometriche, assolutamente diverse dalla funzione di partenza.
FOURIER: (sorriso distaccato) Capisco. Deve essere stata dura da digerire, specie se chi spiega non ha a sua volta dominato l'intuizione che ne sta alle fondamenta.
POA: Come intuizione? Ma io credevo che si trattasse di un caso di serendipita', una felice scoperta del tutto casuale in cui sommando piu' seni e coseni si addiveniva a qualcosa del tutto diverso e del tutto inaspettato...
FOURIER: (sbatte la tazzina) Per carita'! Non bestemmi. Cosi' sembra perche' ormai questo e' il modo di spiegare la matematica, e di scrivere libri che trattano di matematica. La matematica e' diventata - nella scuola - un morto vivente, tenuta in vita da un demiurgo-professore piu' simile ad un beccamorti che ad un prosatore di conoscenza.
POA: (rosso, sudato alle mani) Non e' stato cosi? e quel simbolo di sommatoria poi, cosi' antipatico...
FOURIER: Vede, caro ingegnere, le cose non vengono da sole. Lei non e' nato cosi' com'e', con scarpe pantaloni cravatta e con la tazzina in mano. Per sua mamma prima, e per lei poi, c'e' voluto del tempo. E cosi' e' stato per le mie Serie.
(pausa)
FOURIER: Lei non ha idea di quante ore, intere giornate, io abbia trascorso osservando come i corpi passavano dal calor rosso alla temperatura ambiente. Si puo' passare una vita ad osservare un fenomeno senza capirne alcunche'. Sino ad un preciso giorno in cui scatta una potente intuizione e cio' che prima sembrava un accadimento della natura senza alcun significato oltre a se stesso, appare tosto come una frase di senso compiuto, scritta e lasciata li' giusto per essere letta e capita da chi ne' ha facolta'.
POA: E come e' stato?
FOURIER: Come e' stato cosa?
POA: Beh... com'e' stato che ha intuito che una funzione puo' essere sviluppata in serie di seni e coseni...
FOURIER: Molto spesso ci si incammina per strade che sembrano non arrivare mai alla meta, tanto questa e' distante. Nel caso delle mie Serie l'intuizione e' arrivata dal fatto che osservando un corpo caldo messo a contatto con un corpo freddo, la funzione che ne rappresentava la distribuzione iniziale di temperatura, il gradino, degradava nel tempo secondo curve regolari, differenziabili, quasi delle onde. Periodiche. Le capisce, vero?
POA: Da cui i seni e coseni, appunto (con convinzione).
FOURIER: Calma ingegnere. La strada e' ancora lunga. Vede, ingegnere, se lei ha una funzione che da scalino degrada regolarmente sino ad arrivare ad un piatto indefinito, vuol dire che e' come se lei togliesse via via a quella delle quantita' regolari, simili per forma alla curva che ad ogni sottrazione ne deriva.
POA: (strizza gli occhi).
FOURIER: E se lei, ingegnere, avesse voluto dalla temperatura costante finale ritornare allo scalino iniziale, avrebbe dovuto appunto sommare proprio quelle funzioni che inizialmente erano state sottratte a quello. Assolutamente in un percorso inverso. La forma simile tra le funzioni di distribuzione di temperatura, supportata da un formidabile bagaglio di conoscenze matematiche, ha fatto si' che io arrivassi a supporre che qualsiasi funzione periodica potesse venire scomposta - come una cipolla - in tante funzioni trigonometriche da sommare tra loro.
POA: Caspita, par tutto cosi' chiaro, cosi' evidente...
FOURIER: Devo ancora raffreddarla, ingegnere. La strada per giungere a formalizzare matematicamente questa intuizione sarebbe stata ancora lunga e tormentata. Pensi solo a quei fetentoni di Laplace, Lagrange e Legendre che denigrarono il mio lavoro solo per via di quelle funzioni discontinue e non derivabili che in un solo punto. Pareva che le mie Serie non potessero rappresentarle mai...
POA: Comunque sia, Signor Fourier, viste cosi' le sue Serie perdono quel senso di fastidio che danno quando s'incontrano per la prima volta da studenti, ed acquistano il valore di un potente strumento per spiegare la realta'.
FOURIER: Calma, calma, ingegnere. Lei corre sempre troppo. Prima di dire che la realta' e' il modello, e' sicuro che non vi siano altri modelli della realta'? Accontentiamoci per ora di dire che le Serie servono per indagarla, la realta'. 
(sguardo apparentemente perso)
FOURIER: Comunque sia, le mie Serie sono state una enorme conquista per la conoscenza scientifica, al pari della Geometria Euclidea, delle Quattro Operazioni, del Limite e del Calcolo Satistico, giusto per restare nell'ambito dei suoi studi classici d'ingegneria. 
(lo sguardo si fa indagatore)
FOURIER: Certo si sara' chiesto come sia stata trovata la soluzione dell'equazione differenziale lineare ordinaria. Vero?
POA: Ehm (imbarazzato).
FOURIER: Vede, ingegnere, se l'equazione e' lineare allora qualunque sia la funzione che la risolve, sicuramente e' pure soluzione la sua prima armonica. Da quest'altra intuizione, con preparazione matematica adeguata, la soluzione completa e' bella che trovata.
POA: Proprio (ondeggia).
FOURIER: Ma ben altri strumenti sono la conseguenza, diretta o indiretta, dei miei studi: lei dovrebbe sicuramente conoscere la scomposizione modale dei moti oscillatori, ed anche l'analisi spettrale che altro non e' che uno studio semplificato dei fenomeni oscillatori nel dominio delle frequenze, a partire sempre dalle mie armoniche.
POA: (incantato).
FOURIER: Mi aspettano. Le offro il caffe'.
POA: Ma... ma... e' mio ospite, Signore.
FOURIER: Ma per carita'. Mi consideri un signore d'altri tempi.


LA NUOVA CASA SU BLOGSPOT.COM
La vecchia casa su Splinder verra' demolita il 31 gennaio 2012. Da quella data - presumo - non sara' piu' possibile collegarsi al vecchio POA.

Confesso una tristezza. Cavoli, l'entropia mi sta consumando. Assieme a tutte le cose a me care.
Che rabbia!

Splinder mi ha lasciato fuori con lo scatolone. Con dentro un semplice file .xml e una cartellina di vecchie immagini.
Arrangiarsi!

Non mi risulta esserci alcun servizio gratuito di migrazione su questa nuova piattaforma.
Ingegnarsi!

Devo ammettere che il risultato e' tutt'altro che perfetto.  Ho perso le vecchie parole chiave ed anche qualche link. Tuttavia la trasformazione XSLT ha fatto si' che il file nello scatolone diventasse una pagina HTML.

Devo ringraziare un vecchio ferro del mestiere:
"XML - Il nuovo linguaggio del Web" di Paolo Pialorsi per le edizioni I Portatili - Mondadori Informatica.
7,70 euri nel 2002.

A natale da regalare assolutamente nella nuova edizione, se avete amici smanettoni.


AUGURI OFFICINALI 2
Esattamente un anno fa:

"... le Officine augurano ai loro lettori un periodo natalizio all'insegna della buona salute e della serenita' piu' totale. Lontano dai terremoti, dai dispiaceri e anche lontano dalle piu' banali seccature... Ed un augurio ai collaboratori, obviously... Come pure un pensiero speciale per tutti coloro che stanno lottando per qualcosa...".

Mi pare possa andare bene cosi' anche quest'altro natale. No?

Mi prendo qualche giorno per riordinare le idee e tirar fuori cio' che resta (molto) ancora negli scatoloni.

L'appuntamento col prossimo post e' per lunedi' 9 gennaio 2012.
Ci conto. 
Vs. POA


(*) P.S.: L'inverosimile colloquio trae spunto dalla rilettura de "La trasformata di Fourier", articolo scritto da R. N. Bracewell e tradotto (da cani) su Le Scienze - Quaderni, numero 84 del giugno 1995, ma originariamente pubblicato su Le Scienze n. 252 di agosto 1989.
Vi lascio pure una simpatica rappresentazione di come sia sviluppabile in serie di Fourier la funzione f(x)=x resa periodica con intervallo ]-π,π[ con due punti di discontinuita' agli estremi (anche se e' affetta da un erroraccio evidente, che tuttavia non ne inficia la sostanza).

[135°] THE ENCHANTING INTUITIONS OF MONSIEUR FOURIER
No english version for this post... sorry.