mercoledì 2 gennaio 2013

[157°] PREVEDERE I TERREMOTI: LA GUIDA DEFINITIVA - 3a puntata

25-01-2013 Ultim'ora: http://cnt.rm.ingv.it/data_id/7226520880/event.html
06-01-2013 Ultim'orahttp://cnt.rm.ingv.it/data_id/7226236860/event.html

Ma allora non siete morti?! Non siete collassati in una singolarita' spazio-temporale... Non siete stati trafitti al cuore da un'improvvisa Delta di Dirac... E neach'io. Ma allora possiamo stare assieme ancora un altro po'!

Che bello.

E ora c'e' da superare quest'altro post: altro che corazzata Potëmkin. Via subito alla terza puntata:


PREVEDERE I TERREMOTI - terza puntata
L'INTERVALLO TEMPORALE DI OSSERVAZIONE E LA PROBABILITA' DI NON ACCADIMENTO

Nella seconda puntata ci si era lasciati con D1:
"Quale probabilita' c'e' che in un intorno di raggio r ed in un intervallo di tempo Δt capiti un terremoto di magnitudo non inferiore ad M? "

In questa domanda ci sono vari ingredienti:
una localizzazione geografica, un terremoto di soglia, una durata temporale e -s'era detto necessariamente- una probabilita' di non accadimento.

Voglio condividere ora con i lettori di POA il terzo ed il quarto ingrediente: la durata dell'intervallo di osservazione e le considerazioni sulla corrispondente probabilita' di non accadimento

Vediamo.

Dal punto di vista matematico la probabilita' di vincere o di perdere e' la stessa cosa. Conviene allora adeguarsi alle usanze e chiamare la probabilita' di insuccesso col nome di rischio e continuare ad intendere con la parola probabilita', la probabilita' di successo.

(Attenzione a non confondere questo rischio col rischio della Protezione Civile, che e' tutt'altra cosa.)

Sempre in matematica la probabilita'|rischio di un accadimento coincide col limite cui tende la frequenza di quello stesso accadimento in una successione di esperimenti lunga a piacere.

Queste poche cose appena dette applicate all'universo temporale dei terremoti hanno generato le considerazioni che seguono.

Si stabilisca un terremoto da considerare d'ora in avanti il terremoto di soglia (per esempio un terremoto rappresentato da un certo valore Ag=... a piacere), e sull'asse dei tempi si segni ogni verificarsi di un tale terremoto, o di uno maggiore.

Si ottiene l'asse (nero) di figura: a sinistra ho l'Alfa, l'inizio dei tempi, a destra ho l'Omega, la fine dei tempi (bella metafora, vero? permette di ragionare al limite).

Asse temporale degli eventi

Su quest'asse ogni tacca rappresenta uno scuotimento superiore o uguale al valore di soglia.

Se di tutte le durate degli intervalli T1, T2, T3, ..., Ti, ... se ne ne fa la somma T1+T2+T3+...+Ti+... e la si divide per il numero degli intervalli tra l'Alfa e l'Omega, si ottiene un intervallo medio che per ora puo' essere chiamato tempo (medio) di ritorno T.

Con l'intervallo T posso disegnare (in affianco all'asse t ) l'asse dei tempi rosso, che e' un asse puramente teorico: diciamo di significato puramente matematico e non fisico come e' invece per l'asse nero.

...con l'asse virtuale dei tempi di ritorno


Ripeto: l'asse nero e' un asse di accadimenti reali, fisicamente avvenuti, mentre l'asse rosso e' un asse teorico, una astrazione matematica. L'asse rosso - vedetelo un po' trasparente - s'intende sovrapposto all'asse nero.

Essendo un asse virtuale, l'asse rosso puo' anche spostarsi un po' a sinistra oppure un po' a destra. Non fa differenza per i nostri scopi. (Per rendere quest'idea ho omesso di disegnarne le frecce di estremita'.)

Vedo ora di ragionare su quest'asse rosso.

Per come e' stato ricavato, T e' il periodo di un accadimento periodico nel tempo (tempo rosso, mi raccomando, terremoto virtuale, rosso). Ma allora 1/T e' esattamente la frequenza di questo accadimento periodico virtuale (la frequenza e' l'inverso del periodo).

Per la definizione iniziale di rischio inteso come limite di una frequenza, ed essendo la metafora Alfa-Omega un passaggio al limite per t  tendente ad infinito, si puo' affermare allora che 1/T e' il rischio associato a questo terremoto virtuale di soglia. E siccome successo+insuccesso in calcolo probabilistico da' sempre 1, vuol dire che

1-(1/T)

e' la probabilita' di non superamento del terremoto di soglia prescelto. Cioe':

P(Ag) = 1-(1/T)           [1]

Ripeto: si sta ragionando sull'asse rosso. E quanto trovato vuol dire: se scelgo un valore di soglia Ag ricavo un suo periodo di ritorno T, un rischio matematico di superamento 1/T ed una probabilita' di non superamento 1-(1/T).

Noto che: prima decido Ag, quindi la volonta' di DIO-PADRE-ONNIPOTENTE mi fa conoscere T, e solo dopo, ma molto dopo, calcolo P(Ag) con l'espressione [1].

Questo modo di spiegarmi le cose mi pareva carino dirlo su POA.

Domandina.

Ma questo rischio e questa probabilita' a quale intervallo di tempo si riferiscono?

Non e' una domandina pippesca, vero??

A dire il vero l'asse rosso e' un asse virtuale, nel senso che in ogni intervallo di durata T accade sempre uno e un solo terremoto di soglia. Non ha molto senso parlare di probabilita' col solo asse rosso; bisogna saltare sull'asse nero.

Ma l'asse rosso virtuale non e' fisso sull'asse nero reale: non hanno punti che devono coincidere per come sono stati costruiti. L'asse rosso virtuale puo' scivolare un po' a piacere sull'asse nero reale: un po' a sinistra come pure un po' a destra...

Bene, dal punto di vista matematico l'espressione 1/T cosi' trovata non e' adimensionale (come richiesto per il concetto probabilistico di rischio), ma e' un rischio riferito all'unita' di tempo. Quindi in realta' e' una densita' di rischio.

Moltiplicando allora 1/T per l'unita' di tempo, il valore assoluto dell'espressione non cambia perche' la moltiplico per 1, ma 1/T diventa adimensionale corrispondendo pienamente alla sua natura.

Quindi facendo scorrere i due assi uno sull'altro per far cadere un terremoto reale di soglia entro un intervallo unitario di durata 1 dell'asse rosso (non disegnato in figura), potrei interpretare 1/T come il rischio di superare Ag in un anno solare.

Analogamente 1-(1/T) e' la probabilita' di non superare il terremoto di soglia in un anno solare.

Ma vado oltre con questo ragionamento.

Se scomodo l'assioma della probabilita' composta, questo mi aiuta a calcolare il rischio Rn di superamento del terremoto di soglia in un intervallo di n anni. Che vale:

Rn(Ag) = 1-(1-(1/T))^n

Altola'! Ci sono molte variabili - dipendenti e indipendenti - in questa formula:

0<=Rn<=1 che e' il rischio riferito ad un intervallo di n-anni,
0<n che e' appunto la durata scelta,
0<Ag il ns. terremoto di soglia,
1<=T il periodo di ritorno

Alcune le posso scegliere, come Ag di soglia o come n; altre restano intrappolate una volta scelto Ag ed n, come succede a T e subito dopo ad Rn.

Conviene scrivere allora:

Rn = 1-(1-(1/T(Ag)))^n                   [2]

dove viene messo in evidenza che T dipende da Ag e che quindi Rn dipende a sua volta da T(Ag) ed n.

A questo punto e' evidente che il legame T=T(Ag) non mi e' noto essendo l'asse virtuale rosso impossibile da conoscere (dovrei afferrare l'Alfa e l'Omega assieme!).

Pero' posso usare la formula [2] per rispondere a quest'altra domanda:
che tempo di ritorno ha un terremoto di soglia che presenti un rischio di accadere pari ad un 1-percentile in... 50 anni?

Be', vuol dire che Rn=1%  n=50 e pertanto da [2] si ricava T=4975 anni.

E con un rischio del 10% sempre in 50 anni?

Rn=10%  n=50, quindi T=475 anni.

Qualche numero e' famigliare, vero??

E' interessante osservare che la formula [2] da' il rischio di un accadimento senza necessita' di sapere di che tipo di accadimento si tratti. Mi spiego.

Per un certa durata di tempo n la formula calcola il rischio noto che sia il suo tempo di ritorno, senza che sia necessario conoscere il particolare legame T(Ag). Anzi, possono essere terremoti, ma anche pere, mele o quant'altro.

Cio' significa che tutto sto ambaradam funziona ugualmente bene sia che per la soglia prenda un Ag, piuttosto che una magnitudo M, piuttosto che non so cosa altro.

Noto anche che il rischio tende a diventare certezza al crescere di n. "n" che puo' riguardarsi a questo punto come vita nominale.

Restano ancora ben tre considerazioni importanti.

1a considerazione:
stabilita una funzione tempo-di-ritorno T(.) per un certo fenomeno, ne resta conseguentemente intrappolata la funzione densita' di probabilita'. Cio' fa pensare ad un legame occulto tra le due cose...;

2a considerazione:
l'esatta funzione T(Ag) non la posso conoscere perche' non conoscero' mai tutto cio' che c'e' tra l'Alfa e l'Omega. Cioe' nessuna successione di esperimenti potra' mai coprire l'intero asse nero del tempo reale. Gli intervalli di osservazione hanno necessariamente durata finita. Quindi T(Ag) e' conoscibile solo per campioni di osservazioni e quindi lo stesso T sara' conoscibile solo con un certo grado di fiducia probabilistica (un certo percentile probabilistico di T);

3a considerazione:
se si stabilisce che la pericolosita' sismica di sito e' da definirsi con un certo valore Ag di soglia (con esso valutero' forze inerziali sulla struttura), allora e' necessario conoscere la funzione densita' di probabilita' per la grandezza Ag. Ma non conviene partire da un Ag di soglia perche' non conosco il legame T(Ag). Conviene invece partire da una coppia (Rn, n) che vada bene e ricavare da essa la funzione densita' di probabilita' di Ag, relativa alla coppia (Rn, n). Solo allora si scegliera' -con un certo grado di fiducia probabilistica- il valore Ag piu' consono al problema (stato limite ultimo?). E proprio questo valore Ag sara' convenzionalmente la pericolosita' di sito.

Bene.

Come procedere concettualmente in pratica? (Toh, un ossimoro: non mancava che questo.)

Si prende la coppia (Rn=10%, n=50 anni).

L'intervallo di campionamento e' 50 anni e la probabilita' di superamento del valore soglia -non noto a priori- e' 10%.

Si costruisce una successione di campioni-osservazioni tutti di durata 50 anni.

Per ogni campione si sceglie quel valore Ag che risulta maggiorato nel 10% dei casi del campione.

Su un secondo grafico si segna questo Ag in ascissa e una tacca in ordinata.

Cosi' proseguendo si ottiene un grafico Ag-frequenze che concettualmente altro non e' che la funzione densita' di probabilita' di Ag.

Stabilito un m-esimo percentile, si legge in corrispondenza il valore Ag corrispondente, e questo valore sara' la pericolosita' di sito.

La norma italiana usualmente da' in corrispondenza alla coppia (Rn=10%, n=50 anni) il 50° percentile di Ag.

E la pericolosita' di sito mi pare proprio definita concettualmente in funzione dello stato limite ultimo SLV.

Concludendo:
la pericolosita' Ag di un sito e' l'accelerazione di picco registrata su suolo rigido corrispondente al 50° percentile di fiducia campionaria delle registrazioni che in 50 anni hanno la probabilita' di essere maggiorate nel 10% dei casi.

@zzo.

^  ^  ^

Lo ammetto: a San Silvestro un botto mi e' scoppiato moolto vicino.

Pero' tenevo molto scambiare con qualche lettore di POA queste importanti considerazioni. Non fosse altro che per verificarne l'esattezza.

E non e' finita qui.

Vi auguro di vivere questo 2013 alla grande: 100°-percentile di salute e di grandi soddisfazioni nel lavoro.
Vs. POA

P.S.: un grazie particolare a Giorgio, ingegnere meccanico in Venezia, per la bellissima foto di testata.
 
[ 157°] THE EARTHQUAKE'S FORECAST: THE ULTIMATE GUIDE (3rd part)
 No english version for this post... sorry.