Il post in sintesi:
- il concetto (matematico) di velocita' istantanea
una allegoria per il (doloroso) concetto scolastico di
velocita' istantanea
- l'operazione matematica di passaggio al limite
una seconda allegoria per la potente operazione
del Calcolo
IL CONCETTO (MATEMATICO) DI VELOCITA' ISTANTANEA
Vi siete mai trovati incasinati e col mal di testa in mezzo a colorate allucinazioni di simboli tipo: dx df dy df/dx y' f'?
Quei simboli hanno il potere spaventoso di oscurare le menti, di inghiottire in trip senza ritorno interi allievi ingegneri spavaldi, anche di peso noto notevole.
Guardo i miei vecchi appunti universitari sul tema, con paura, come ad un "libro dei morti".
(Ricordo che li ho studiati nonostante quel fastidioso bisbiglio dei muri di casa)
Ecco, senza presunzione, vorrei che questo post fosse come un mantello magico proprio per quegli allievi che si addentrano per la prima volta in questo ambiente incantato. Perche' non e' detto che riescano ad uscirne.
Ma l'eta' giovane e' dalla loro. Ed io voglio loro bene sincero.
Vediamo allora di (tra)scrivere giu' le idee senza stressare i cervelli, ma piuttosto come offrire un buon caffe'.
Io partirei dalla classica definizione di velocita' (media):
v|med = spazio percorso / tempo impiegato = s / t
Questa da' l'idea di uno spostamento sempre costante nell'unita' di tempo, per tutta la durata del movimento.
La definizione richiede alcuni ingredienti: uno spazio percorso non nullo (ma anche no), un intervallo di tempo non nullo (questo si'), una operazione elementare di divisione.
Il risultato e' dimensionale ed e' espresso in unita' di spazio su unita' di tempo: cio' significa, intanto, che uno stesso movimento puo' avere velocita' (medie) diverse, a seconda delle unita di misura usate.
Gia' questo mi ha sempre scocciato. Per dire, p-greco e' sempre p-greco: sembra esistere in qualunque aula didattica, numericamente sempre uguale a se stesso.
La velocita' (media) invece no: e' piu' evanescente. E' un numero con uno zaino sulle spalle. Se lo zaino e' Invicta, allora si presenta cosi', se invece lo zaino e' Seven, allora si presenta cola'.
Parlando di velocita' (media) bisogna sempre descriverla con le sue unita' di misura, altrimenti si arrabbia, si turba, svanisce, dissimula la sua informazione.
Insomma, gia' si capisce che occorre trattarla con assoluto rispetto perche' sia docile e sveli cio' che sa.
Forse un personaggio cosi' mutevole pone qualche dubbio sulla qualita' della sua esistenza. Forse i numeri "con lo zaino" vanno capiti meglio...
Ma adelante.
I guai per lo studente cominciano quando si cerca di calcolare la velocita' in movimenti di durata sempre piu' breve, addirittura quando lo spostamento avviene in un intervallo di tempo tendente a zero.
In questo caso, con simboli semplificati:
v|ist = lim ( s / t ) per t --> 0
In questo caso l'operazione di limite ha senso tentarla, e se il limite esiste ha pure senso assegnare questo valore "v" all'istante (t = 0).
Cio' che a mio parere non ha senso e' credere che questo valore v|ist sia ancora una velocita' della stessa natura di v|med.
Credo sia proprio questo che fa andare in corto circuito la testa degli allievi ingegneri, perche' si sforzano di ritenere il concetto di v|med applicandolo in un istante ben preciso t=0. Dimenticandosi che v|med richiede un intervallo di tempo, non un singolo istante di tempo.
Il corto circuito e' poi totale quando questa nuova torta appena sfornata viene chiamata v|ist, velocita' istantanea: ma allora e' vero che e' una velocita'!! caspita!! Me lo dicono loro, e poi ha le stesse dimensioni della velocita' (media).
A mio modo di vedere non e' cosi'.
E' vero che la velocita' istantanea ha lo stesso zaino della velocita' media, ma e' l'apoteosi della finzione. Si camuffa da velocita', perche' ha rubato lo zaino dalla sua amica velocita' media, ma il suo volto e' orribile, e' quello di un mostro: si camuffa da velocita' ma il suo intervallo di tempo che tiene a denominatore e' rigorosamente uguale a zero.
Ho fin paura di scatenare la tempesta perfetta scrivendolo. Rischio: ha rubato lo zaino alla buona velocita' media ma dentro vi ha messo un terribile (0/0).
Come e' stato possibile? e come e' stato possibile che nessuna sirena matematica si sia messa a suonare l'allarme "division by zero!" "division by zero!" "division by zero!"?
A mio modo di vedere il merito e' di un certo Mr. Leibniz che ha giusto inventato quelle lunghissime pinze che pur senza vederlo, riescono a catturare il rapporto (0/0) e a calcolarne di volta in volta (se esiste) il valore.
(0/0) e' una divisione terribile, appena scritta gia' si dimena, si torce, si trasforma quasi come un licantropo, un mutaforma, un alieno, una cosa, un terminator, urla, grida, sghignazza, digrigna, ulula.
Puo' darsi che ad un certo punto collassi: ed allora si placa assumendo un qualche valore. Oppure se ne scappi via, quasi vergognandosi dell'orrido suo aspetto, ed allora la si vede sparire all'infinito.
Solo le pinze di Leibniz ci consentono di torcere per il collo la bestia (0/0), di vederla mutare e trasformarsi in un qualche numero mite, oppure di inseguirla nel suo lontano scomparire, senza pericolo di ferirci.
Queste pinze sono ovviamente il "limite", l'operazione matematica di limite: a mio modo di vedere la prima vera (e assolutamente) nuova operazione matematica apparsa sotto il sole dalla scoperta delle operazioni + - x /.
Quindi non si deve vergognare alcuno se non ha chiaro questo concetto di velocita' istantanea: perche' non e' una velocita', anche se ci assomiglia, anche se ha lo stesso zaino.
Quando il tempo stava per collassare al valore 0, si aveva
v = 0/0
Noi a questo punto abbiamo catturato - un attimo prima del suo collasso - la bestia (0/0) con le pinze di Leibniz e l'abbiamo tenuta stretta sino a che e' collassata su di un valore "v".
Ma in questa lotta furibonda che ha portato la bestia al collasso, abbiamo investito e perso molto: abbiamo perso la realta' fisica, non siamo piu' nel mondo fisico reale, bensi' nel mondo dei concetti matematici.
A questo punto possiamo anche chiamarla col nome di velocita' (istantanea), ma tutto e' fuorche' una velocita' reale.
Avremmo potuto chiamarla Zoe, Maria, cicuta, piantumperla rutilosa. Ormai la bestia era collassata per sempre uscendo da questo mondo.
Ma la storia non finisce qui. Perche' per nostra fortuna Mr. Leibniz era un gigante, anzi, un Gigante, e le sue pinze nella lotta furibonda con la bestia, ci hanno si' scaraventati in un mondo diverso, ma in un mondo dove tutto e' pan di zucchero.
Dove le stelle sono di glassa, la pioggia e' di gocce di cioccolata, i fiumi sono di crema.
Un tal mio amico direbbe: un mondo dove la mona e' ovunque.
E perche' tutto sto benedetto ottimismo? Ma perche' la bestia (0/0) nel suo morire e' andata a collassare in quel che null'altro e' che un quasi-differenziale dello spostamento, e cioe':
v|ist = ds / dt
Nei due mondi, quello reale e quello matematico, almeno per noi ingegneri, il tempo e' sempre la stessa medesima grandezza. Ma correre lungo una traiettoria reale torta e ritorta non e' la stessa cosa che correre su di un binario rettilineo del mondo matematico.
Questo binario rettilineo e' appunto il differenziale dello spostamento:
ds
Il mondo matematico con la sua magia buona ci rassicura dicendoci che invece di correre per strade tortuose, arriviamo alla stessa meta anche correndo piu' semplicemente su binari rettilinei, chiamati differenziali, solo che questi si conoscano e si sappiamo trovare.
Ma per trovare "ds" basta fare:
v|ist * dt = ds
e voila', il binario e' bello che trovato.
La bestia si e' trasformata in pan di spagna, la strada curva in binario diritto, e questo nuovo oggetto chiamato (sfortunatamente) velocita' istantanea e' la nuova creatura che unendosi al tempo da' vita al differenziale: il grimaldello per il mondo reale, di ritorno dal mondo matematico.
df... il differenziale.
Ma questa e' un'altra storia.
L'OPERAZIONE MATEMATICA DI PASSAGGIO AL LIMITE
Trovo che nello studio come in tutte le cose della vita, una buona metafora, una buona allegoria puo' aiutare a capire qualcosa di piu'.
Ed il limite non sfugge a questa regola.
Su, andate ad un poligono di tiro e all'arrivo prendete il posto assegnatovi.
Solo che tra voi ed il bersaglio c'e' un telo nero, teso.
In mezzo al telo nero una fenditura, che pero' non lascia vedere nulla oltre.
Vi dicono che dopo che avete sparato col vs. fucile, e se avete colpito il bersaglio, sentirete un urlo.
Tranquilli, l'urlo e' solo registrato ma lo sentirete solo nel caso abbiate colpito il bersaglio.
Prendete allora la mira piu' che altro ad intuito, sfruttando le simmetrie della scena, immaginando dove ragionevolmente puo' trovarsi il bersaglio da colpire.
Fate fuoco. Il proiettile entra nella fenditura. La oltrepassa.
Sentite l'urlo.
Ecco, per POA il passaggio al limite e' come questo centro: sapete solo che lo avete fatto, ma non lo toccherete mai.
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Direi che il post e' terminato, anche per chi stesse ancora cercando il capostazione.
Sperando di non aver rovinato a nessuno la pausa-caffe', vi auguro 15 giorni di proficuo lavoro, con appuntamento al prossimo post di (circa) meta' febbraio.
Vs. POA
No english version for this post... sorry.
